Posso cobrar os dias que passou após os 30 dias de depósito?

Se ele estiver disposto a pagar assim.

Pode. Deve,.

Sim se passar os depósito é um direito do proprietário.

Sim você pode e o contrato só acaba quando o inquilino devolve as chaves e é feita a vistoria no imóvel para verificar se ele não deixou nada danificado. Lembrando que aluguel de imóvel sem contrato e sem garantia o risco de prejuízo é grande e com certeza.

Dias são proporcional pode cobrar.

O inquilino deve pagar todos os dias que morou no imóvel. E após a vistoria do imóvel o valor da caução deve ser devolvido a ele corrigido pela poupança.