Contrato de compra e venda pode ser feito por particular, e registrado no cartório?

Sim este é o caminho correto.

O contrato pode ser feito em qualquer Tabelião de notas e depois deve ser registrado no cartório de registro de imóveis no município onde se localiza o imóvel da circunscrição regional do cartório.

Sim, o <a href="https://www.imovelguide.com.br/contrato/modelo-de-contrato-de-compra-e-venda-de-imovel" >contrato de compra e venda de imóvel</a> pode ser feito por particulares e posteriormente registrado no cartório de registro de imóveis para ter validade legal.

O contrato tem que ser feito no cartório de registro de imóveis.

Não; a depender do caso concreto até pode ser averbado mas isso não transfere a propriedade.

Sim.

Sim pode.