Mesmo eu levando o inquilino a imobiliária pode cobrar primeira parcela integral do aluguel?

Se fizer o contrato com ela é passível sim.

Somente se tiver exclusividade, caso contrário, não há necessidade de pagamento.

Pode ser negociado, mais é de padrão o 1 aluguel.

Sim. Você assinou um contrato com a empresa.

Sim.

Não há nada que impeça tal cobrança, contudo, não é justo, dado que não houve a prospecção do cliente, os gastos com visitas, análise de fichas e afins, então, entendo ser viável que fique com metade do aluguel nestes casos, mas cada profissional age de uma forma, repito, não há lei definindo isto.

Se a imobiliaria fez todo o trabalho ,de puxar a documentação,analisar a ficha do cliente,aprovar a documentação, fazer a minuta do contrato de locação, sim é devida á imobiliaira 100% do 1 aluguel.

Isso você deveria ter negociado antes de assinar qualquer contrato.