Neste caso se o chuveiro tiver queimado quem repara o dano sou eu ou a imobiliária/proprietário?

Nesse caso a responsabilidade pela reparação do chuveiro queimado provavelmente será do proprietário ou da imobiliária como o problema ocorreu logo após você entrar no apartamento e o chuveiro já estava instalado antes da sua chegada é razoável presumir que o problema já existia antes você deve comunicar imediatamente a imobiliária ou ao proprietário sobre ocorrido e solicitar a substituição do chuveiro ele deverão providenciar a troca do chuveiro elétrico por um novo para garantir que o problema não se repita no futuro é importante manter registro de todas as comunicações e ações tomadas em relação a esse assunto.

Nesse caso responsabilidade do locador.

Se você quebrou entao você pode consertar mas avisa pra imobiliaria dependendo do contrato pode ate descontar no pagamento do aluguel.

Creio que a responsabilidade seja do proprietário.

Problemas na rede elétrica ou hidráulica, esgoto, telhado, vícios ocultos e imperfeições pré-existentes são de responsabilidade do proprietário do imóvel.

Quem troca o chuveiro é o inquilino.

Para que você não seja responsabilizado e tenha que pagar o conserto do chuveiro terá que obter um laudo comprovando que o problema foi causado por algo estrutural. Se o defeito foi por uso, a despesa é de responsabilidade do locatário. Essas condições deveriam estar bem definidas no contrato de locação. A imobiliária tem razão quando diz que qualquer alteração que fizer sem o consentimento, por escrito, do locador terá que ser revertida para entregar as chaves.