Atraso no pagamento do aluguel, o nome pode ser protestado?

Sim, isso pode acontecer. Alugueis podem ser protestados e é lícito ao credor usar de todos os meios legais na cobrança de seus direitos. Eu não faria mas não vejo ilícito na atitude. O cartório deveria ter mandado aviso de protesto.

Sim.

Pode ser pedido o despejo.

Sim, pode ser protestado até com 30 dias de atraso !

Pode sim, é procedimento correto, pois, como você disse, está atrasado e no seu contrato deve constar uma data para pagamento que pelo que entendi até o momento que você veio ao fórum eram de 23 dias, no caso, a imobiliária tem por obrigação prestar proteção ao locador e ao bem imóvel locado e o procedimento é entrar com o protesto, normalmente com 15 dias de atraso é feito isso.

Sim o protesto pode ser efetuado sim, inclusive o proprietário pode pedir a desocupação do imóvel a partir de 1 (um) dia de atraso no pagamento do aluguel.

Sim, é possível que o nome do inquilino seja protestado em caso de atraso no pagamento do aluguel. No entanto antes de fazer o protesto o proprietário do imóvel deve notificar o inquilino do atraso no pagamento do aluguel e dar um prazo que ele regularize a situação.