Posso construir em imóvel alugado?

Se o proprietário permitir.

Não pois a propriedade está em poder do inquilino, o mesmo tem que autorizar a construção.

Sem a autorização do proprietario não.

Toda melhoria que fizer tem que pedir autorização para o proprietário e o mesmo tem que aprovar. Pode aver um acordo em descontar do aluguel ou não. Tem que ser de interesse do proprietário essa melhoria.

Não pode construir. Você depende da autorização do proprietário;.

A CONSTRUCAO TORNA -SE ALGO INCONVENINENTE E ILEGAL SE NAO HOUVER UM ACORDO ENTRE AS PARTES.

Com o consentimento do proprietário talvez sim.

Se o locador consentir pode; e veja com o locador se ele vai exigir o imóvel restituído a ele sem essa construção.

Pode desde que ciente que o valor investido será perdido e que precisará da assinatura e autorização por escrito do proprietário com projeto e aprovação para a tal construção não sei se compensa construir no que é do outros e perder dinheiro compensa utilizar este valor para entrada em um imóvel para você.

O inquilino pode fazer sem problemas.