Tenho que pagar aluguel proporcional?

A resposta correta carece de leitura do contrato assinado entre as partes, verificar principalmente se existe clausula que exige a notificação de comunicação com antecedência, e outra exigência quanto a multas etc. Em todo caso, a recomendação é usar o método de comunicação positiva (não violenta), para avançar numa rescisão contratual justa e segura para as duas partes.

Sim.

Sim, os dias a mais devem ser pagos ou um comum acordo com o proprietário.

SIM.

Sim.

Se você avisou o proprietário até o dia 20/12 sim, deverá para 20 dias proporcionais, mas, se não avisou, poderá ter que pagar 50 dias, conforme prevê a lei do inquilinato.

Evidente que sim, pagará por todos os dias que morar no imóvel.