Pai ou mãe pode ser fiador?

Sim, os pais podem ser fiadores, o casal no caso pois quando o fiador é casado deve-se colocar ambos como fiadores. Exije-se a mesma renda ou mais e imóveis quitados como propriedade para caso precise penhorar bens.

Na prática, uma situação recorrente é a seguinte: o casal aluga o imóvel, e pai ou parente de um dos dois, se torna fiador. O fiador continua a se responsabilizar pelo ex-cônjuge de seu parente".

Sim desde que atenda as exigências para tal 

Com escritura definitiva de um imóvel, sim.

Pode sim, mais algumas imobilirias pedem dois imóveis   

Sim, desde que tenha mais de um imóvel.

Pode.

Caso os pais possuam um imóvel quitado em seu nome, estejam com as obrigações financeiras em dia, não apresentem pendências de crédito e possuam renda mensal equivalente a três ou quatro vezes o valor do aluguel mais encargos de locação, podem ser fiadores.