Posso ir à Caixa verificar o financiamento por conta própria?

A Caixa determina quanto quer emprestar. E se pela analise do seu crédito a Caixa determinou que vai emprestar apenas parte do que você precisa para pagar o imóvel você tem duas opções: pagar a diferença com recursos próprios ou desistir do imóvel. Veja se a construtora financia a diferença para você. Vale lembrar que na analise de crédito o credor consulta do SCR do Banco Central e lá está apontando seu histórico de endividamento de todas as instituições então não costuma adiantar discutir com a Caixa o quanto ela está disposta a te emprestar mas você é livre para tentar conversar com a Caixa.

Pode sim.

Essa diferença geralmente ocorre devido à algum comprometimento de renda entre a aprovação do financiamento e a data de assinatura do contrato. Precisa apurar o porque dessa divergência.

Preferível conversar com um advogado imobiliário.

SIM.

Se você não conseguir as informações e saber qual a agencia pode ir sim sem problemas.

Sim, você pode verificar no banco.