Imobiliária deve receber primeiro aluguel de renovação?

Procede esta correto.

Não pode cobrar, a não ser que seja requerido novo contrato pelo inquilino que deverá arcar com esse custo no mais será cobrado do dono do imóvel.

Ola Se no contrato que tem estiver estipulado sim, caso contrário não.

Não. Assim como o inquilino não terá que pagar nova caução.

Somente procede se for renovação por escrito porém a praxe é 50% do primeiro aluguel e não integral e só pode ser cobrado se constar no contrato de administração. Você tem a opção de deixar o aluguel renovar automaticamente por prazo indeterminado onde nada será devido e o prazo se torna indeterminado. Renovação escrita no meu entendimento se justifica quando temos alguma situação especial ou diversas clausulas serão modificadas. Você decide, você é a dona do imóvel.

Creio que a Imobiaria está errada e não deve cobrar nada, mesmo porque trata-se de uma Continuidade prevista em Contrato!

Vale o que está no contrato se não estiver não deverá pagar.

Sim.

HÁ que se verificar o que foi estabelecido no contrato de administração, havendo a previsão, justa a cobrança.