Ação de despejo tem efeito suspensivo?

Ola em condições normais não, com o novo CPC 2015 artigo 995 mudou muito, o efeito é devolutivo, raramente se concede o suspensivo.

Pode ter sim!

Sim tem.

Apenas em casos bem excepicional quando puder resultar em lesão grave difícil de reparar.

As ações de despejo tem efeito devolutivo, mas em apelações o efeitos suspensivo pode ser solicitado. Não é regra e é de difícil aceitação. Não sei te explicar porque apesar de ler sobre o assunto e acompanhar ações judiciais é uma parte do direito processual difícil de entender.

Não.

Art.558,parágrafo único, do CPC. Vai depende lide judicial seu andamento.

Não.