Posso fazer contrato de aluguel com nome sujo?

Normalmente não.

Se o locador aceitar nada na lei impede. Difícil será encontrar locador que aceite o risco.

Em nossa legislação não é nada que impeça uma pessoa com cpf restrito de fechar o negócio porém o locatório e a imobiliária tem a liberdade de realizar ou não contrato baseandose no princípio da Autonomia privada ou seja o locador pode escolher não fechar o contrato caso ele não se sinta Seguro.

Em alguns casos nao.

Normalmente não.

Pode, desde que o proprietário esteja ciente ou a imobiliária e eles aceitem alugar para você.

Através de um fiador.

Dificilmente você irá conseguir fazer a locação com o nome sujo.